قابلية القسمة

في درس الضرب والقسمة تعلمنا أن نقسم عدداً على عدد آخر، ولكننا كثيراً ما نحتاج إلى سؤال أبسط من ذلك: هل يقبل هذا العدد القسمة على ذلك العدد أم لا؟ وهذا السؤال هو أساس المضاعف المشترك الأصغر وتبسيط الكسور، وفي هذا الدرس سوف نتناول:

• ما معنى أن يقبل العدد القسمة Divisibility، وما هو الباقي Remainder.
• لماذا لا نحتاج إلى إجراء القسمة كاملة في كل مرة.
• قواعد سريعة للقسمة على 2 و 5 و 10 و 3 و 9.

المشكلة

لنفرض أن عندك 126 قطعة حلوى وتريد أن توزعها على 9 أطفال بالتساوي دون أن يبقى شيء، فهل هذا ممكن؟ والسؤال الحقيقي هنا ليس كم يأخذ كل طفل، وإنما هل يبقى شيء بعد التوزيع، أي هل الباقي صفر.

الحل البسيط، ولماذا لا يكفي

الحل الذي يخطر على البال أولاً هو أن نجري القسمة المطولة كاملة ثم ننظر إلى الباقي، وهذا الحل صحيح ولكنه بطيء، وفي الأعداد الكبيرة مثل 7353 يأخذ وقتاً ويكثر فيه الخطأ. والسبب أننا نحسب ناتج القسمة كله بينما نحتاج إلى الباقي فقط، لذلك نبحث عن طرق تعطينا الباقي مباشرة.

الحل الصحيح: الباقي، وقواعد القسمة

نقول إن العدد يقبل القسمة على عدد آخر إذا كان الباقي صفراً، فمثلاً 126 يقبل القسمة على 9 لأن $9 \times 14 = 126$$\htmlClass{am-glyph}{\text{٩}} \times \htmlClass{am-glyph}{\text{١٤}} = \htmlClass{am-glyph}{\text{١٢٦}}$ ولا يتبقى شيء. أما 128 فلا يقبل القسمة على 9، لأن أكبر مضاعف للعدد 9 لا يزيد على 128 هو 126، والباقي $128 - 126 = 2$$\htmlClass{am-glyph}{\text{١٢٨}} - \htmlClass{am-glyph}{\text{١٢٦}} = \htmlClass{am-glyph}{\text{٢}}$.

ولكي نعرف الباقي بسرعة نستخدم القواعد التالية، وكل قاعدة لها سبب:

• القسمة على 2 و 5 و 10: ننظر إلى رقم الآحاد فقط، والسبب أن كل عشرة تقبل القسمة على 2 و 5 و 10، فلا يبقى شيء إلا من الآحاد.
• القسمة على 3 و 9: نجمع أرقام العدد، والباقي من مجموع الأرقام هو نفسه الباقي من العدد كله. والسبب أن كل 10 تساوي 9 وواحداً، وكل 100 تساوي 99 وواحداً، والـ 9 والـ 99 تقبل القسمة على 3 و 9، فلا يبقى من كل رقم إلا الرقم نفسه.

لنطبق ذلك على العدد 7353 والقسمة على 9: مجموع الأرقام $7 + 3 + 5 + 3 = 18$$\htmlClass{am-glyph}{\text{٧}} + \htmlClass{am-glyph}{\text{٣}} + \htmlClass{am-glyph}{\text{٥}} + \htmlClass{am-glyph}{\text{٣}} = \htmlClass{am-glyph}{\text{١٨}}$، والعدد 18 يقبل القسمة على 9، إذن 7353 يقبل القسمة على 9 دون أن نجري القسمة.

مثال محلول

المثال التالي يبين كيف نجد الباقي، وكل خطوة معها سببها:

في الحل أعلاه لاحظ التالي:

• لم نحتج إلى معرفة ناتج القسمة 160، لأن السؤال عن الباقي فقط.
• القاعدة نفسها تعمل مع الأعداد الكبيرة، فمجموع الأرقام أصغر دائماً من العدد.

التدريب

اكتب الباقي في كل سؤال، وإذا كان العدد يقبل القسمة فاكتب صفراً. وفي الأسئلة الصعبة تظهر القسمة على 4 و 6 و 8 و 11، وسوف تجد القاعدة المناسبة في التلميح.

الخلاصة

• العدد يقبل القسمة على عدد آخر إذا كان الباقي صفراً.
• الباقي هو ما يتبقى بعد أن نطرح أكبر مضاعف ممكن من العدد.
• للقسمة على 2 و 5 و 10 ننظر إلى رقم الآحاد فقط.
• للقسمة على 3 و 9 نجمع الأرقام، والباقي من المجموع هو الباقي من العدد.