الكسور المتكافئة

في درس مفهوم الكسر ذكرنا أن المقام يحدد حجم القطعة والبسط يعد القطع، فماذا يحدث إذا قسمنا كل قطعة إلى قطع أصغر؟ هل يتغير الكسر؟ في هذا الدرس سوف نتناول:

ما معنى أن يكون كسران متكافئين Equivalent Fractions.
الحل البسيط الذي يعطي كسراً مختلفاً دون أن ننتبه.
كيف نحصل على كسر مكافئ بالضرب، وكيف نبسط الكسر بالقسمة.

المشكلة

لنفرض أن عندك نصف بيتزا، وصديقك عنده بيتزا من نفس الحجم قسمها إلى 4 قطع وأخذ منها 2. فهل معكما الكمية نفسها؟ الشكل التالي يبين نصفك وقطعتي صديقك:

ولاحظ أن الطول الملون في الشريطين واحد، أي أن $\frac{1}{2}$ و $\frac{2}{4}$ كسران مختلفان في الكتابة ولكنهما متساويان في القيمة، ولهذا نسميهما كسرين متكافئين.

الحل البسيط، ولماذا لا يعمل

إذا طلبنا كسراً مكافئاً للنصف مقامه 4، فإن بعض الطلاب يفكر هكذا: المقام زاد من 2 إلى 4 أي زاد بمقدار 2، إذن نزيد البسط بمقدار 2 أيضاً، فيصبح الكسر $\frac{3}{4}$ . ولكن ثلاثة أرباع أكبر من النصف بوضوح، والسبب أننا أضفنا قطعاً جديدة بدلاً من أن نقسم القطع الموجودة، والجمع يغير قيمة الكسر.

الحل الصحيح: نضرب أو نقسم البسط والمقام في العدد نفسه

عندما نقسم كل قطعة إلى قطعتين فإن عدد كل القطع يتضاعف، وعدد القطع الملونة يتضاعف أيضاً، وبالتالي نضرب المقام والبسط في 2 معاً. جرب بنفسك في الرسم التالي، واختر في كم قطعة نقسم كل جزء، وراقب أن الطول الملون لا يتغير:

قسم كل جزء إلى:

\frac{2}{3} = \frac{2 \times 1}{3 \times 1} = \frac{2}{3}

قسمنا كل جزء إلى 1 أجزاء، فأصبح الشريط 3 أجزاء منها 2 ملونة، ولاحظ أن الطول الملون لم يتغير.قسمنا كل جزء إلى ١ أجزاء، فأصبح الشريط ٣ أجزاء منها ٢ ملونة، ولاحظ أن الطول الملون لم يتغير.

والقاعدة هي أننا نحصل على كسر مكافئ إذا ضربنا البسط والمقام في العدد نفسه، أو قسمناهما على العدد نفسه، لأن ذلك يغير حجم القطع وعددها معاً دون أن يغير الكمية:

\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}

والقسمة هي الاتجاه المعاكس، وتسمى تبسيط الكسر Simplifying، فإذا قسمنا البسط والمقام في $\frac{8}{12}$ على 4 نعود إلى $\frac{2}{3}$ ، وهو أبسط صورة للكسر لأن العددين 2 و 3 لا يوجد بينهما قاسم مشترك غير 1.

مثال محلول

المثال التالي يبين كيف نجد العدد الناقص، وكل خطوة معها سببها:

\frac{3}{5} = \frac{\square}{20}

1١
$5 \times 4 = 20$ لماذا؟ نبحث أولاً عن العدد الذي ضربنا فيه المقام، وهو 4.

في الحل أعلاه لاحظ التالي:

لم نبدأ بالبسط، وإنما بالمقام، لأن المقامين معروفان ونحتاج إلى معرفة العلاقة بينهما.
لو أضفنا 15 إلى البسط كما أضيف إلى المقام لحصلنا على $\frac{18}{20}$ ، وهو أكبر من ثلاثة أخماس.

التدريب

حل الأسئلة التالية واكتب العدد الناقص فقط. وفي الأسئلة الصعبة يكون المقام الجديد أصغر، فتحتاج إلى القسمة بدلاً من الضرب.

التدريب

نحضر سؤالاً جديداً

الخلاصة

الكسران المتكافئان لهما القيمة نفسها بقطع مختلفة الحجم.
نحصل على كسر مكافئ إذا ضربنا البسط والمقام في العدد نفسه أو قسمناهما على العدد نفسه.
الجمع لا يعطي كسراً مكافئاً، لأنه يضيف قطعاً جديدة.
أبسط صورة للكسر هي التي لا يوجد فيها قاسم مشترك بين البسط والمقام غير 1.