المضاعف المشترك الأصغر

في درس قابلية القسمة رأينا كيف نعرف أن عدداً يقبل القسمة على عدد آخر، والآن سوف نستخدم هذه الفكرة لنجد عدداً يقبل القسمة على عددين معاً. وهذه المهارة هي المفتاح لجمع الكسور التي مقاماتها مختلفة، وفي هذا الدرس سوف نتناول:

• ما هو المضاعف Multiple، وما هو المضاعف المشترك.
• لماذا لا يكفي أن نضرب العددين.
• كيف نجد المضاعف المشترك الأصغر Least Common Multiple، واختصاراً LCM.

المشكلة

لنفرض أن حافلة تمر أمام المدرسة كل 4 دقائق، وحافلة أخرى تمر كل 6 دقائق، ومرت الحافلتان معاً الآن. فبعد كم دقيقة تمران معاً مرة أخرى؟

الحل البسيط، ولماذا لا يعمل

الحل الذي يخطر على البال أولاً هو أن نضرب العددين: $4 \times 6 = 24$$\htmlClass{am-glyph}{\text{٤}} \times \htmlClass{am-glyph}{\text{٦}} = \htmlClass{am-glyph}{\text{٢٤}}$، أي بعد 24 دقيقة. وهذه الإجابة ليست خاطئة تماماً، فالحافلتان تمران معاً فعلاً بعد 24 دقيقة، ولكنهما تمران معاً قبل ذلك أيضاً، والسؤال عن أول مرة. والسبب أن حاصل الضرب مضاعف مشترك دائماً، ولكنه ليس الأصغر عندما يكون بين العددين عامل مشترك، مثل العامل 2 بين 4 و 6.

الحل الصحيح: أول عدد مشترك في القائمتين

مضاعفات العدد هي ناتج ضربه في 1 و 2 و 3 وهكذا، أي الأوقات التي تمر فيها الحافلة. والطريقة المباشرة هي أن نكتب مضاعفات كل عدد، ثم نبحث عن أول عدد يظهر في القائمتين معاً، والجدول التالي يبين ذلك:

لاحظ أن الأعداد المشتركة هي 12 و 24، وأولها 12، إذن تمر الحافلتان معاً بعد 12 دقيقة، ونكتب:

وقد يتساءل البعض: هل نحتاج دائماً إلى كتابة القائمتين كاملتين؟ والإجابة على ذلك لا، فيكفي أن نكتب مضاعفات العدد الأكبر ونتوقف عند أول مضاعف يقبل القسمة على العدد الأصغر، لأن كل مضاعفات العدد الأكبر موجودة في قائمته أصلاً.

مثال محلول

المثال التالي يبين الطريقة المختصرة، وكل خطوة معها سببها:

في الحل أعلاه لاحظ التالي:

• بدأنا بالعدد الأكبر، لأن قائمته تصل إلى الجواب بخطوات أقل.
• إذا كان أحد العددين مضاعفاً للآخر، مثل 3 و 6، فالمضاعف المشترك الأصغر هو العدد الأكبر نفسه.

التدريب

حل الأسئلة التالية واكتب المضاعف المشترك الأصغر. وفي الأسئلة الصعبة تكون الأعداد أكبر وبينها عامل مشترك، فلا تكتف بضربها.

الخلاصة

• مضاعفات العدد هي ناتج ضربه في 1 و 2 و 3 وهكذا.
• المضاعف المشترك الأصغر هو أول عدد يظهر في مضاعفات العددين معاً.
• حاصل ضرب العددين مضاعف مشترك، ولكنه ليس الأصغر إذا كان بينهما عامل مشترك.
• الطريقة المختصرة: مضاعفات العدد الأكبر حتى نصل إلى أول مضاعف يقبل القسمة على العدد الأصغر.
• سوف نستخدم هذه المهارة مباشرة في درس جمع الكسور غير المتشابهة لنجد المقام المشترك.